符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人

皮亚诺作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名。他的工作是独立于J.W.R.戴德金（Dedekind）而做出的。虽然戴德金也曾发表过一篇自然数方面的文章，观点与皮亚诺的基本相同，但表达得不如皮亚诺明晰，没有引人们注意。皮亚诺以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面。他在逻辑方面的第一篇文章出现在他1888年出版的《几何演算—基于格拉斯曼的“扩张研究”》(Calcolo geometrico secondo 1u2019Ausdehnungslehre di H. Grassmann)一书中。该文独立成章共20页，是关于“演绎逻辑的运算”（Operations of deductivelogic）的。皮亚诺不同意B.A.W.罗素（Russell）的观点，而是G。布尔（Boole）、F.W.K.E. 施勒德（Schroder）、C.S.皮尔斯（Peirce）和H. 麦科尔（Mccoll）等人工作的综合和发展。1889年皮亚诺的名著《算术原理新方法》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）出版，在这本小册子中他完成了对整数的公理化处理，在逻辑符号上有许多创新，从而使推理更加简洁。书中他给出了举世闻名的自然数公理，成为经典之作。1891年皮亚诺创建了《数学杂志》（Rivista di Matematica），并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理，且证明了它们的独立性。皮亚诺用两个不定义的概念“1”和“后继者”及四个公理来定义自然数，说所谓自然数是指满足以下性质的集合N中的元素：

（1）1是N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若a的后继者用表示，则对于N中任何a,

（2）对于N中任意元a, 存在而且仅存在一个后继者；

（3）对于N中任何, 若则

（4）（归纳公理）N的一个子集合M，若具有以下性质：当时，有则

继续研究逻辑

19世纪90年代他继续研究逻辑，并向第一届国际数学家大会投了稿。1990年在巴黎的哲学大会上，皮亚诺和他的合作者C. 布拉利-福尔蒂（Burali-Forti）、A. 帕多阿（Padoa）及M. 皮耶里（Pieri）主持了讨论。罗素后来写道：“这次大会是我学术生涯的转折点，因为在这次大会上我遇到了皮亚诺。” 皮亚诺对20世纪中期的逻辑发展起了很大作用，对数学做出了卓越的贡献。

皮亚诺在《数学杂志》上公布他和他的追随者的逻辑与数学基础方面的结果。他还在上面公布了他的《数学公式》（Formulario）的庞大计划，并且在这项工作上花费了26年的时间。他期望能将他的数理逻辑记号的若干基本公理出发建立整个数学体系。他使数学家的观点发生了深刻变化，对布尔巴基学派产生了很大影响。

编著《数学公式汇编》

皮亚诺的《数学公式汇编》（Formulario mathematico）共有5卷，1895—1908年出版，仅第5卷就含有4200条公式和定理，有许多还给出了证明，书中有丰富的历史与文献信息，有人称它为“无尽的数学矿藏。”他不是把逻辑作为研究的目标，他只关注逻辑在数学中的发展，称自己的系统为数学的逻辑。

在其他领域中使用公理化方法

皮亚诺在其他领域中也使用了公理化方法，特别是对几何。从1889年开始，他对初等几何采用公理化的处理方法，给出了几套公理系统。1894年他将这种方法加以延伸，在M.帕施（Pasch）工作的基础上将几何中不可定义的项消减为三个（点、线段和运动），后来M. 皮耶里（Pieri）在1899年又把几何中不可定义的项消减为二个（点和运动）。

他的许多论文都是对已有的定义和定理给出更加清晰和严格的描述及应用，例如1882年H. A. 施瓦兹（Schwarz）引入了曲面的表面积这个概念，但没有说清楚，一年后皮亚诺独立地将曲面表面积的概念清晰化。

引入并推广了“测度”的概念

皮亚诺引入并推广了“测度”的概念。1888年开始他将H. G.格拉斯曼（Grassmann）的向量方法推广应用于几何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，对意大利的向量分析研究作了很大的推动。

1890年，皮亚诺发现一种奇怪的曲线，只要恰当选择函数和由定义的一条连续的参数曲线，当参数t在[0，1]区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。稍后D。希尔伯特（Hilbert）和皮亚诺还找到另外一些这样的曲线。

皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面。的确，他在分析方面的工作是非常新颖的，有不少是开创性的。1883年他给出了定积分的一个新定义，将黎曼积分定义为黎曼和当其最小上界等于最大下界时所取的公共值。这是设法使积分定义摆脱极限概念所作的努力。1886年他率先证出一阶微分方程可解的唯一条件是f的连续性，并给出稍欠严